La sezione aurea

La sezione aurea è uno splendido esempio del profondo senso di meraviglia che proviamo di fronte all’universo. Il numero phi= 1.6180339887..con infinite cifre decimali ha ispirato pensatori di tutte le discipline: biologi,artisti, musicisti, storici, architetti, matematici, persino i mistici..tutti hanno indagato la sua inattesa presenza nei campi più diversi. Alcune delle menti migliori matematiche di ogni tempo, da Euclide a Pitagora a Keplero a Penrose hanno prodigato tempo e riflessione alle proprietà di questo numero. Il fascino della sezione aurea consiste nella sua incredibile propensione a comparire dove meno lo si aspetta: dai petali dei fiori alla disposizione delle foglie, dalla buccia del l’ananas alla corolla del girasole, dal guscio delle conchiglie alle galassie a spirale, dalle composizioni musicali ai dipinti dei più grandi artisti, dalla struttura dell’Oseiron egizio al Partenone, dai fiocchi di neve ai cavolfiori, dall’ottica dei raggi di luce all’albero genealogico del maschio di ape. È l’unico numero il cui quadrato è uguale a se stesso più uno e il cui reciproco è uguale a se stesso meno uno. Il rapporto tra l'(n+1)esimo e l’n-simo numero della serie di Fibonacci si avvicina sempre più a phi al crescere del numero, e la successione di Fibonacci si trova ovunque in natura. Phi è contenuto nella spirale logaritmica e la natura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle conchiglie, dai vortici agli uragani, dalle corna dei montone alle zanne dell’elefante, dai fossili alle galassie.. Scendendo in picchiata il falcone tiene la testa dritta seguendo una spirale logaritmica: grazie alle proprietà equiangolari di questa spirale, l’uccello ha la possibilità di non perdere di vista la preda e nel contempo di mantenere diritta la testa massimizzando la velocità. Tre dei più grandi pittori del rinascimento, Piero della Francesca, Leonardo da Vinci e Albrecht Durer furono anche matematici e strutturarono, tra i tanti, le loro opere in base alla sezione aurea e alla sua armonia e proporzione. Disegni originali mostrano che Stradivari usava particolare cura nel collocare gli occhi dei fori a effe dei violini in posizioni determinate geometricamente dalla sezione aurea. Molti considerano la sesta maggiore e la sesta minore tra i più piacevoli intervalli musicali e tali intervalli sono legati alla sezione aurea. Nei numeri delle battute di sviluppo ed esposizione delle Sonate dei grandi maestri della musica come Mozart si riscontrano sequenze di Fibonacci. Ma se le leggi fisiche sono espresse come equazioni matematiche, ritroviamo i frattali in ogni parte delle strutture complesse, le galassie si organizzano come spirali logaritmiche, abbiamo un numero phi di infiniti decimali che si riscontra in una serie sbalorditiva di ambiti diversi, possiamo dire che la matematica è l’idioma universale? Se dovessimo comunicare con una civiltà intelligente a migliaia di anni luce dalla terra, non dovremmo fare altro che trasmettere il numero phi=1,6180339887… e i destinatari ci capirebbero all’istante perché anch’essi, vivendo nell’universo sarebbero sotto l’autorità delle stesse leggi numeriche.

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MA cos’è la sezione aurea? Chi l’ha scoperta e come? Quali sono le sue affascinanti proprietà? Perchè è così presente in natura e quale è il suo significato?

Gli Elementi di Euclide

La prima chiara definizione di \Phi compare nell’opera fondamentale Gli Elementi di Euclide. Euclide visse intorno al 300 a.c. e con Gli Elementi è stato il fondatore della geometria (e dunque più in generale della matematica) come sistema deduttivo, ovvero come sapere che parte da poche asserzioni iniziali in-dimostrate (assiomi) e procede sistematicamente ottenendo tutti i risultati successivi (teoremi) per deduzioni logiche. In forma più “anarchica” la geometria, intesa come studio delle forme e delle figure composte da linee, cerchi, archi e triangoli, esisteva già nell’antico egitto, forse anche precedentemente, nata per ragioni pratiche spesso legate alla costruzione di edifici o alla ridistribuzione del territorio per la coltivazione.

Euclide definisce la sezione aurea come segue: si divida un segmento di lunghezza (a+b) in due sottosegmenti lunghi a e b in modo che il rapporto tra la lunghezza del segmento totale (a + b) e la lunghezza del sottosegmento maggiore a sia uguale al rapporto tra il sottosegmento maggiore a e il sottosegmento minore b (si veda la figura).

Il rapporto così definito è la sezione aurea:

\displaystyle\Phi=\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}.

Proprietà numeriche della sezione aurea

\Phi è un numero irrazionale, cioè un numero che ha infinite cifre dopo la virgola che non presentano alcuna struttura ordinata (periodica). Il numero 0.333333…, pur avendo infinite cifre dopo la virgola, non è un numero irrazionale perchè presenta una struttura periodica: conoscendo un numero finito di cifre si possono prevedere le successive e dunque ricostruire e conoscere tutto il numero. Per i numeri irrazionali ciò non è possibile: per conoscere esattamente un numero come \Phi occorre calcolare una per una ognuna delle cifre che seguono la virgola ed essendo queste infinite il tempo necessario a fare ciò è un tempo infinito. Il valore numerico di \Phi, approssimato alla nona cifra dopo la virgola, è 1.618033989.

La sezione aurea è l’unico numero la cui parte decimale (ovvero la parte che segue la virgola) è uguale a quella del suo quadrato e del suo inverso. Si trova infatti che

\Phi^2 = 2.618033989\dots

mentre

\displaystyle \frac{1}{\Phi} = 0.618033989\dots

(è possibile mostrare in modo molto semplice che questa proprietà deriva dalla definizione stessa della sezione aurea, così come è stata data da Euclide).

Possibili precedenti

Sebbene la prima esplicita dichiarazione di conoscenza della sezione aurea sia negli Elementi di Euclide, vi sono diverse speculazioni riguardo ad una conoscenza antecedente del famoso rapporto numerico. Il fatto, ad esempio, che la piramide di Cheope presenti un rapporto tra l’apotema a e il semilato della base b (si veda la figura) molto vicino alla sezione aurea, ha spinto alcuni storici della matematica a domandarsi se questa non fosse già nota agli antichi egizi.

Tuttavia, come abbiamo già accennato, le forme le cui proporzioni sono in relazione con la sezione aurea sono particolarmente gradevoli all’occhio e dunque non è da escludere che i costruttori, qui come altrove, si siano imbattuti in questa proporzione casualmente.

Se c’è qualcuno che poteva conoscere la sezione aurea prima che Euclide la definisse nella sua opera fondamentale, questi erano Pitagora e i suoi seguaci.

Pitagora e i pitagorici

Pitagora naque intorno al 580 a.c. e passò buona parte della vita in viaggio tra Babilonia, Egitto e India, dove molto probabilmente venne a conoscenza degli studi matematici precedenti compiuti da quelle popolazioni. Quando rientrò in Grecia si stabilì sull’isola di Crotone dove fondò una società segreta dedita allo studio dei numeri , che i membri della società adoravano e consideravano magici e divini. Veneravano in particolare i cosiddetti numeri “perfetti”, che secondo i pitagorici erano quei numeri che si possono ottenere sia come somma che come prodotto dei loro fattori (6 è un numero perfetto, perchè i suoi fattori sono 1, 2 e 3 e 1 + 2 + 3 = 6; così come lo è il 28, ad esempio). I pitagorici conducevano una vita ascetica e si professavano vegetariani (benché non mangiassero le fave per la loro somiglianza con i testicoli). Produssero moltissimo ma non lasciarono niente di scritto.

Al di là delle importanti scoperte matematiche attribuite alla scuola pitagorica, che si ritiene occupino interamente i primi due libri degli Elementi di Euclide (tra cui v’è il famoso teorema che porta il nome di Pitagora) il motivo per cui è plausibile che i pitagorici conoscessero anche la sezione aurea è duplice. Da un lato vi è il simbolo della società segreta, il famoso pentagramma regolare iscritto in un pentagono:

La stella inscritta si ottiene collegando i vertici del pentagono e contiene al suo interno, come si vede in figura, un altro pentagono più piccolo e ribaltato rispetto al precedente. Questa operazione ovviamente può essere ripetuta con il pentagono più piccolo al centro, ottenendo così un’altra stella inscritta e un terzo pentagono ribaltato rispetto al precedente, e così via; si possono disegnare uno dentro l’altro infinite stelle e infiniti pentagoni. La cosa affascinante di questa figura geometrica è che due diagonali relative a vertici distinti (ad esempio la rossa e la blu, in figura) si incrociano dividendosi reciprocamente in due parti disuguali: il rapporto dell’intera diagonale con il segmento più lungo è uguale al rapporto tra il segmento più lungo e il più piccolo e questo rapporto è proprio uguale alla sezione aurea \Phi. E ciò vale per le diagonali di ognuno degli infiniti pentagoni costruiti uno dentro l’altro con la procedura vista prima.

La seconda ragione per la quale si può ritenere probabile la conoscenza da parte dei pitagorici della sezione aurea è che i pitagorici avevano scoperto sicuramente l’esistenza dei numeri irrazionali (di cui fa parte, come detto all’inizio, la stessa \Phi). Li avevano scoperti applicando il teorema di pitagora ad un triangolo rettangolo isoscele di cateti uguali a uno. Tale triangolo ha l’ipotenusa lunga \sqrt{2}, che è un numero irrazionale. E non solo avevano scoperto l’esistenza dei numeri irrazionali, ma il fatto che questi avessero parte decimale disordinata e infinita li aveva turbati profondamente. Ciò significava che l’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele aveva una lunghezza impossibile da conoscere: la scoperta dei numeri irrazionali poneva il problema dell’incommensurabilità. Tutto ciò li aveva spinti a fare voto di non parlare mai con nessuno di questa scoperta. La leggenda vuole che Pitagora abbia assassinato un membro della società per impedirgli di divulgarla.

La successione di Fibonacci

Circa mille e settecento anni dopo Pitagora e i suoi adepti, nasce a Pisa, alla fine del 1100, Leonardo Pisano, ricordato oggi con il nome di Leonardo Fibonacci, ovvero “figlio dei Bonacci”. Il padre, Guglielmo dei Bonacci, era un facoltoso mercante pisano e così fu il figlio, i cui interessi commerciali internazionali l’avevano portato a viaggiare molto (aveva vissuto buona parte della vita in Africa Settentrionale, ma era stato anche in Provenza, in Siria, in Egitto e a Costantinopoli). Oltre al suo lavoro di mercante, Fibonacci era affascinato dalla matematica e i frequenti viaggi di lavoro gli permisero di entrare in contatto con la cultura greco-romana e con le avanzate conoscenze matematiche che gli arabi avevano aquisito. Quando rientrò a Pisa, l’imperatore Federico II fece la sua conoscenza, e constatata l’abilità di Fibonacci nel risolvere problemi, lo invitò a far parte del suo entourage imperiale. La ricchezza che conseguì a quella posizione gli permise di seguire da quel momento in avanti unicamente i suoi interessi matematici.

Sono due le opere per le quali Fibonacci è maggiormente noto. In una di queste, il Liber Abaci, Fibonacci presenta la famosa successione che poi avrebbe preso il suo nome, la successione di Fibonacci. Ogni numero della successione di Fibonacci è ottenuto sommando i due numeri precedenti:

1~1~2~3~5~8~13~21~34~55~89~144~233\dots

La successione di Fibonacci presenta numerose proprietà particolari: •una coppia qualsiasi di numeri consecutivi della successione non possiede divisori comuni; ovvero due numeri consecutivi della successione sono coprimi; •il numero in posizione k è divisbile per ogni numero precedente la cui posizione divide k: ad esempio il numero nella 12-esima posizione, il 144, è divisibile sia per 2, che per 3, che per 8, che infatti si trovano nelle posizioni 3, 4 e 6 (divisori di 12); •una conseguenza della proprietà precedente è che i numeri primi della successione di Fibonacci devono trovarsi in posizioni prime (si dicono primi quei numeri che sono divisibili solamente per se stessi e per uno); infatti il 13 è al settimo posto, l’89 all’undicesimo, 233 al tredicesimo, etc; •ogni numero della serie si può ottenere sommando tutti i numeri che lo precedono, eccetto l’ultimo, più 1: 1+1+2+3+1=8, 1+1+2+3+5+1=13, 1+1+2+3+5+8+1=21 e così via.

Ma la proprietà forse più affascinante della successione (proprietà di cui Fibonacci stesso non si accorse mai, che fu scoperta da Keplero 400 anni dopo e dimostrata da un matematico nel ‘700) è che il rapporto tra ogni numero di Fibonacci e quello che lo precede tende alla sezione aurea man mano che si procede lungo la successione. Questo significa che più grandi sono i numeri consecutivi scelti, più il valore del loro rapporto si avvicina a \Phi:

144/89=1.61\dots

233/144=1.618\dots

377/233=1.6180\dots

610/377=1.61803\dots

I numeri della natura

Come accennato all’inizio dell’articolo, la cosa più stupefacente della sezione aurea e delle forme geometriche ad essa associate, cioè costrutite tramite proporzioni auree, è la loro enorme diffusione in natura: in piante, animali, oltre che in fenomeni fisici e chimici. Adesso che abbiamo parlato della successione di Fibonacci, è bene aggiungere che anche i numeri che costituiscono tale successione sono incredibilmente presenti in natura. La combinazione di queste due cose — il legame matematico appena visto tra i numeri della successione e \Phi e il fatto che entrambi siano onnipresenti in natura — ha solleticato la curiosità di molti scienziati, di appassionati di numerologia e di esoterismo, oltre che di uomini religiosi (non è un caso se il volume interamente dedicato alla sezione aurea e alle sue applicazioni, scritto dal matematico Luca Bartolomeo de Pacioli nel ‘500, si intitolasse De Divina Proportione). Ma quali sono le tracce in natura della presenza della sezione aurea e dei numeri della successione di Fibonacci?

Fiori e frutti

La botanica offre alcuni casi di particolare fascino. Quasi tutti i fiori mostrano infatti 3 o 5 o 8 o 13 o 21 o 34 o 55 o 89 petali: ad esempio i gigli ne hanno 3, i ranuncoli 5, il delphinium 8, la calendula 13, l’astro 21, le margherite di solito ne hanno 34 o 55 o 89; tutti numeri di Fibonacci (e l’elenco potrebbe continuare a lungo). Un altro bellissimo esempio si ha guardando il disco interno di un girasole. Le piccole inflorescenze che vi si trovano, che si trasformano poi in semi, sono disposte in un particolare pattern che può essere ottenuto avvolgendo due spirali di senso opposto, orario e antiorario:

Il pattern dei semi è molto particolare perchè può essere ottenuto da diverse coppie di spirali a seconda di quanto si avvolgono rapidamente verso il centro (si veda la figura sotto). Se uno conta separatamente le spirali nei due versi (orario e antiorario) ottiene sempre numeri della successione di Fibonacci: 34, 55, 89, a volte anche144.

Il numero di Fibonacci delle spirali dipende dal fatto che i semi vicini tra loro al centro del disco (dove hanno origine le spirali) sono disposti ad un angolo di 137.5 gradi l’uno dall’altro, il cosiddetto angolo aureo, che può essere ottenuto ancora una volta usando \Phi:

137.5=360(1-\displaystyle\frac{1}{\Phi})

Questo tipo di pattern, in cui si può cioè contare un numero di Fibonacci di spirali in due diversi sensi di percorrenza, è presente in molti altri frutti e fiori, non solo nel girasole. Alcuni ulteriori esempi sono la disposizione degli esagoni sulla buccia di un anans. Anche questi possono essere percorsi in modo completo usando spirali di diverse inclinazioni (tre per l’esattezza):

Il numero di spirali è in tutti e tre i casi un numero di Fibonacci. Un altro esempio, del tutto identico al caso del girasole, è la disposizione delle squame di una pigna:

La ragione per cui l’angolo aureo e quindi la disposizione a spirali di Fibonacci è così diffusa in natura è che questa disposizione permette una migliore occupazione della superficie disponibile. In generale la sezione aurea si è dimostrata essere strettamente correlata con i problemi di “tiling” (letteralmente: tassellatura o piastrellamento) cioè con i problemi relativi alla copertura di una superficie attraverso la ripetizione di figure geometriche contigue (dette appunto “piastrelle” o “tasselli”). Basandosi sulla sezione aurea il fisico teorico Penrose scoprì la famosa tassellatura che porta il suo nome:

La spirale aurea

Un altro esempio di presenza in natura della sezione aurea è legato alla spirale aurea. Se si prende un rettangolo in cui il rapporto tra i lati è uguale a \Phi e si scompongono i lati più lunghi usando la proporzione aurea si può dividere il rettangolo di partenza in un quadrato e in un rettangolo più piccolo, anch’esso aureo (si veda la prima figura sotto); a questo punto si può procedere allo stesso modo su questo rettangolo più piccolo ottenendo alla fine un altro quadrato e un rettangolo aureo più piccolo ancora. E’ un processo che potrebbe continuare, come nel caso del pentagono pitagorico, all’infinito. Facendo infine passare una curva per i vertici dei quadrati si ottiene la cosiddetta spirale aurea. Vi sono numerosissimi esampi in natura in cui è possibile osservare la spirale aurea: dalle conchiglie, alla struttura di alcune galassie, alle perturbazioni atmosferiche.

Dio è un matematico?

Bisogna resistere alla comune e facile tentazione di vedere nelle ricorrenze numeriche in natura (il caso della sezione aurea non è il solo) qualcosa di magico, mistico o divino. L’unica vera magia è la razionalità del mondo fisico, razionalità che ognuno di noi sperimenta ogni volta che il GPS del proprio telefono lo localizza con successo sulla superficie del pianeta. Per fare ciò il dispositivo GPS, i satelliti che fanno rimbalzare il suo segnale e il programma che lo elabora utilizzano una quantità impressionante di conoscenze scientifiche estramamente sofisticate: se Einstein non avesse scoperto che lo spazio e il tempo si curvano in prossimità di un campo gravitazionale come quello terrestre e se l’uomo non avesse avuto gli strumenti matematici (molto astratti) necessari a calcolare quella curvatura, la posizione segnata dal GPS sarebbe costantemente sbagliata (il sistema accumulerebbe decine di chilometri di errore ogni giorno). Il fatto che l’astratta teoria della relatività generale di Einstein, un prodotto della creatività e dell’intelligenza umana, corrisponda così bene alla realtà è ben più stupefacente rispetto alla presenza di numeri come \Phi in natura. Ed è anche ben più comprovante della struttura ordinata e razionale dell’universo. Ma è comprensibile che la presenza ricorrente di un numero particolare come \Phi sia destinata ad assurgere a simbolo della relazione tra matematica e realtà.

Molte delle ricorrenze di \Phi o dei numeri di Fibonacci nel mondo naturale non sono ancora state spiegate in modo chiaro. Tuttavia alcuni indizi che conducono alla loro spiegazione ci sono. Il motivo per il quale i semi del girasole, ad esempio, sono disposti come abbiamo visto è probabilmente legato alla necessità di mettere più semi possibili in uno spazio definito (il disco del girasole): le proporzioni e gli angoli legati alla sezione aurea permettono un utilizzo dello spazio intelligente, e quindi favorito evolutivamente. Il fatto che i numeri di petali nei fiori corrisponda sempre a un numero della famosa successione è meno ovvio, ma poi non troppo misterioso se si pensa a come è nata la successione di Fibonacci; nel Liber Abaci Fibonacci introduce infatti la successione come soluzione di un problema di ecologia. Il problema è il seguente: se ogni coppia di conigli può generare al mese un’altra coppia, ma ogni coppia deve aspettare un mese da quando è stata generata prima di potersi riprodurre, quante coppie di conigli abbiamo ogni mese? Si immagini di paritre con una coppia. Non è difficile vedere che la soluzione del problema è la successione di Fibonacci: il numero della successione in posizione k è il numero di coppie di conigli al k-esimo mese (si veda la figura sotto per chiarezza: le frecce ad angolo retto rappresentano la figliazione di una coppia, quelle verticali la sopravvivenza della coppia già presente nel mese precedente — nel problema non è prevista la morte dei conigli –, mentre ogni pallino nero è una coppia di conigli; ogni riga orizzontale di pallini rappresenta quindi la popolazione di coppie in quel mese). E’ quindi probabile che la generazione dei petali in un fiore segua qualche regola simile e generi così un numero di Fibonacci di petali.

Niente magia dunque, “solo” una grande e meravigliosa razionalità che permea la realtà in ogni angolo e ad ogni scala (eccetto a volte quella del comportamento umano). L’universo è organizzato in modo razionale e logico, questo è un fatto. Tuttavia non è immediato concludere (anche se molti lo fanno) che se a noi serve l’intelligenza per capire la razionalità e la logica dell’universo, allora questo deve essere stato progettato da un’intelligenza di qualche tipo. Che la nostra intelligenza sia in grado di capire la logica della realtà potrebbe essere una conseguenza del fatto che l’intelligenza umana è un fenomeno emergente di quella stessa realtà: il nostro cervello funziona con le stesse leggi che cerca di spiegare; e forse qui sta la straordinaria capacità di descrivere con la nostra mente questo ordine logico e razionale (in una disciplina che abbiamo chiamato matematica) e di ritrovare poi quell’ordine nel mondo reale.

La ragione per la quale l’universo è retto da leggi matematiche è ignota, anche se la tentazione di umanizzare l’origine di questa razionalità con l’immagine di un progettista è forte, non di meno è la risposta più facile (e sotto vari aspetti logicamente debole) che possiamo dare. Forse invece di usare l’immagine del dio matematico (che seguendo le nostre manie di grandezza — oltre a quelle dei matematici — riporta la realtà alla piccola scala umana) sarebbe meglio dire che dio (le leggi dell’universo) è matematica. E in questo, come in tante altre cose, i greci erano molto più avanti di noi.